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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6f

6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

f ) int (x + 1)/(x^2 - x - 2) d x

Passo 1

Vemos que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Logo, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se alpha e beta são raízes da equação a x^2 + b x + c = 0 , então a x^2 + b x + c = a ( x - alpha ) ( x - beta ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = 2 e x = - 1 . Dessa forma,

int (x + 1)/(x^2 - x - 2) d x = int (x + 1)/(( x - 2 ) ( x - (- 1) )) d x = int (x + 1)/(( x - 2 ) ( x + 1 )) d x = int (1)/(( x - 2 )) d x

Passo 2

Resolvendo a integral, fazendo

u = x - 2 ⟹ d u = d x

Substituindo na integral

int (1)/((x - 2)) d x = int (1)/((x - 2)) d x = int (1)/(u) d u = ln |u| + k = ln |x - 2| + k

Resposta

Portanto,

int (x + 1)/(x^2 - x - 2) d x = ln |x - 2| + k

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