Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6g

6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

g ) int (2)/(x^2 - 5 x + 6) d x

Passo 1

Podemos ver que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Então, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se alpha e beta são raízes da equação a x^2 + b x + c = 0 , então a x^2 + b x + c = a ( x - alpha ) ( x - beta ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = 3 e x = 2 . Dessa forma,

int (2)/(x^2 - 5 x + 6) d x = int (2)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) d x

Passo 2

Como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x - beta) .

(2)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) = (A)/(x - 3) + (B)/(x - 2)

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

(2)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) = (A)/(x - 3) (( x - 2 ))/(( x - 2 )) + (B)/(x - 2) (( x - 3 ))/(( x - 3 ))

(2)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) = (A ( x - 2 ))/(( x - 3 ) ( x - 2 )) + (B ( x - 3 ))/(( x - 2 ) ( x - 3 ))

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, então vamos multiplicar tudo por ( x - 3 ) ( x - 2 ) . Assim,

2 = A (x - 2) + B (x - 3)

2 = x A - 2 A + x B - 3 B

0 x + 2 = (A + B) x + ( - 2 A - 3 B )

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 0 , pois 0 x = m x ; e, como o termo independente é 2 , n = 2 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = ( - 2 A - 3 B ) . Então, montando o sistema:

{[[A + B = 0],[( - 2 A - 3 B ) = 2]])

=> A + B = 0 => A = - B (1)

=> (- 2 A - 3 B) = 2 => 2 A = - 3 B - 2 => A = (- 3 B - 2)/(2) (2)

Igualando (1) e (2)

=> (- 3 B - 2)/(2) = - B => - 3 B - 2 = - 2 B => 3 B - 2 B = - 2 => B = - 2

Colocando o valor de B em qualquer uma das equações, obtemos

A = 2

Logo,

(2)/((x - 3) (x - 2)) = (A)/(x - 3) + (B)/(x - 2)

(2)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) = (2)/(x - 3) - (2)/(x - 2)

Passo 3

Substituindo na integral

int (2)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) d x = int ((2)/(( x - 3 )) - (2)/(( x - 2 ))) d x = int (2)/((x - 3)) d x - int (2)/((x - 2)) d x

Para a primeira integral, fazendo u = x - 3 => d u = d x

int (2)/((x - 3)) d x = 2 int (1)/((x - 3)) d x = 2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + k = 2 ln |x - 3| + k

Para a segunda integral, fazendo u = x - 2 => d u = d x

int (2)/((x - 2)) d x = 2 int (1)/((x - 2)) d x = 2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + k = 2 ln |x - 2| + k

Portanto,

int (2)/((x - 3)) d x - int (2)/((x - 2)) d x = 2 ln |x - 3| - 2 ln |x - 2| + k

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

int (2)/(x^2 - 5 x + 6) d x = 2 ln |x - 3| - 2 ln |x - 2| + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

29. int (s e n 4 x + c o s 2 pi) d x
22. int (e^(a x) + e^(- a x))^2 d x
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. ∫ x 2 ( s e n2 x 3 + 4 x ) d x
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. ∫ 8 x 2 ( 6 x 3 + 5 ) d x
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. ∫ sec 2 ⁡ 5 x + 3 d x