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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6d

6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

d ) int (1)/(x^2 - 4) d x

Passo 1

Podemos ver que a função dentro da nossa integral não é parecida com a da fórmula do exercício 5. Então, para melhorar podemos ver que o denominador pode ser uma fatoração do tipo a^2 - b^2 = ( a + b ) ( a - b ) . Logo,

int (1)/(x^2 - 4) d x = int (1)/(x^2 - 2^2) d x = int (1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x - beta) .

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (A)/(x - 2) + (B)/(x + 2)

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (A)/(x - 2) (( x + 2 ))/(( x + 2 )) + (B)/(x + 2) (( x - 2 ))/(( x - 2 ))

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (A ( x + 2 ))/(( x - 2 ) ( x + 2 )) + (B ( x - 2 ))/(( x + 2 ) ( x - 2 ))

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x + 2 ) . Assim,

1 = A (x + 2) + B (x - 2)

1 = x A + 2 A + x B - 2 B

0 x + 1 = (A + B) x + 2 ( A - B )

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 0 , pois 0 = 0 x ; e, como o termo independente é 1 , n = 1 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = 2 ( A - B ) . Então, montando o sistema:

{[[A + B = 0],[2 (A - B) = 1]])

=> A + B = 0 => A = - B (1)

=> 2 (A - B) = 1 => A - B = (1)/(2) => B = A - (1)/(2) (2)

Substituindo (2) em (1)

=> A = - B = - (A - (1)/(2)) = - A + (1)/(2) => A + A = (1)/(2) => 2 A = (1)/(2) => A = (1)/(4)

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = - (1)/(4)

Logo,

(1)/((x - 2) (x + 2)) = (A)/(x - 2) + (B)/(x + 2)

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = ((1)/(4))/(x - 2) + (- (1)/(4))/(x + 2)

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (1)/(4 ( x - 2 )) - (1)/(4 ( x + 2 ))

Passo 3

Substituindo na integral

int (1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) d x = int ((1)/(4 (x - 2)) - (1)/(4 (x + 2))) d x = int (1)/(4 (x - 2)) d x - int (1)/(4 (x + 2)) d x

Para a primeira integral, fazendo u = x - 2 => d u = d x

int (1)/(4 (x - 2)) d x = (1)/(4) int (1)/((x - 2)) d x = (1)/(4) int (1)/(u) d u = (1)/(4) ln |u| + k = (1)/(4) ln |x - 2| + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + 2 => d u = d x

int (1)/(4 (x + 2)) d x = (1)/(4) int (1)/((x + 2)) d x = (1)/(4) int (1)/(u) d u = (1)/(4) ln |u| + k = (1)/(4) ln |x + 2| + k

Portanto,

int (1)/(4 (x - 2)) d x - int (1)/(4 (x + 2)) d x = (1)/(4) ln |x - 2| - (1)/(4) ln |x + 2| + k

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

int (1)/(x^2 - 4) d x = (1)/(4) ln |x - 2| + (1)/(4) ln |x + 2| + k

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