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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 4

Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.

Dadas as funções e o intervalo:

f x = s e n ( x )

g x = cos ⁡ x

(a,b) = (0, π 2 )

Passo 1

Bem, galera, o Teorema referido no enunciado é dado por:

f b - f a g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

Mas, se liguem: em alguns casos, as soluções podem apresentar mais de um valor para ‘z’, mas, só é considerado um valor para ‘z’ e ele está dentro do intervalo aberto (a,b)!!!

Passo 2

Vamos resolver separadamente cada equação:

f x = c o s ( 2 x )

f b - f a = f π 2 - f 0 = c o s π - c o s 0 = - 1 - 1 = - 2

g x = s e n ( x )

b - g a = g π 2 - g 0 = s e n π 2 - sen ⁡ 0 = 1 - 0 = 1

Logo, sabemos que:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = - 2 1 = - 2

Passo 3

Agora precisamos resolver o outro lado da equação e, novamente, vamos responder separadamente:

f x = c o s ⁡ ( 2 x )

f ' x = - 2 s e n ( 2 x )

f ' z = - 2 s e n ( 2 z )

g x = s e n x

g ' x = c o s ⁡ x

g ' z = c o s ( z )

Logo, também sabemos que:

f ' ( z ) g ' ( z ) = - 2 s e n ( 2 z ) c o s ( z )

Passo 4

Agora, a última etapa, vamos igualar as equações:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

- 2 = - 2 s e n ( 2 z ) c o s ⁡ ( z )

1 = s e n ( 2 z ) c o s ⁡ ( z )

Atenção: lembrem-se da igualdade trigonométrica s e n 2 z = 2 s e n z c o s ⁡ ( z ) .

1 = 2 s e n z c o s ⁡ ( z ) c o s ⁡ ( z )

Atenção, novamente: como cos ⁡ z ≠ 0 no intervalo ABERTO (0, π 2 ), então, podemos fazer a simplificação!!!

1 = 2 s e n ( z )

1 2 = s e n ( z )

No intervalo dado, s e n z = 1 2 para z = π 6

Resposta

z = π 6

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