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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 2

Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.

Dadas as funções e o intervalo:

f x = 2 x 1 + x 2

g x = 1 - x 2 1 + x 2

(a,b) = (0,2)

Passo 1

Bem, galera, o Teorema referido no enunciado é dado por:

f b - f a g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

Mas, se liguem: em alguns casos, as soluções podem apresentar mais de um valor para ‘z’, mas, só é considerado um valor para ‘z’ e ele está dentro do intervalo aberto (a,b)!!!

Passo 2

Vamos resolver separadamente cada equação:

f x = 2 x 1 + x 2

f b - f a = f 2 - f 0 = 4 5 - 0 1 = 4 5

g x = 1 - x 2 1 + x 2

g b - g a = g 2 - g 0 = - 3 5 - 1 = - 8 5

Logo, sabemos que:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = 4 5 - 8 5 = - 1 2

Passo 3

Agora precisamos resolver o outro lado da equação e, novamente, vamos responder separadamente:

f x = 2 x 1 + x 2

f ' x = 2 x ' 1 + x 2 - ( 2 x ) ( 1 + x 2 ) ' 1 + x 2 2

f x = 2 1 + x 2 - ( 2 x ) ( 2 x ) 1 + x 2 2

f ' x = 2 ( 1 - x 2 ) 1 + x 2 2

f ' z = 2 ( 1 - z 2 ) 1 + z 2 2

g x = 1 - x 2 1 + x 2

g ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 2 - ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 2 ) ' 1 + x 2 2

g ' x = - 2 x 1 + x 2 - ( 1 - x 2 ) ( 2 x ) 1 + x 2 2

g ' x = - 4 x 1 + x 2 2

g ' ( z ) - 4 z 1 + z 2 2

Logo, também sabemos que:

f ' ( z ) g ' ( z ) = 2 ( 1 - z 2 ) 1 + z 2 2 - 4 z 1 + z 2 2

Fiquem ligados: sabemos que a expressão 1 + z 2 2 ≠ 0 pra qualquer valor de ‘z’ real, então, podemos fazer a simplificação, meus consagrados!!!

f ' ( z ) g ' ( z ) = 2 ( 1 - z 2 ) - 4 z

f ' ( z ) g ' ( z ) = - ( 1 - z 2 ) 2 z

Passo 4

Agora, a última etapa, vamos igualar as equações:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

- 1 2 = - ( 1 - z 2 ) 2 z

z = 1 - z 2

z 2 + z - 1 = 0

Após resolver esse polinômio do 2º grau, encontramos as seguintes raízes:

z 1 = - 1 + 5     2

z 2 = - 1 - 5 2

Prestem atenção em um detalhe, o Teorema do Valor médio de Cauchy só admite 1 (um) valor para ‘z’ e ele precisa estar compreendido no intervalo aberto (a,b) = (0,2), logo o valor para ‘z’ que vamos considerar, será:

z = - 1 + 5     2

Resposta

z = - 1 + 5     2

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → - 2 ⁡x + 2 x 2 + 3 x
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