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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 9

Calcular o limite, caso ele exista:

underset(x -> oo)(lim) (s e n ( (2)/(x) ))/((1)/(x))

Passo 1

Notem que ao fazermos x -> oo (já que underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0 ) teremos uma indeterminação do tipo (0)/(0) então, temos que fugir disso!!! Mas, como vamos fazer isso?!

Para resolver nosso problema, vamos usar um teorema MUITO famoso, conhecido como Teorema de L’Hôpital:

Sendo f ( x ) e g ( x ) duas funções diferenciáveis para todo x > N sendo N uma constante positiva e suponha que para todo x > N , temos que g ' ( x ) != 0 . Então, se underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = 0 e underset(x -> oo)(lim) g ( x ) = 0 e se:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = L

Temos que:

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = L

Passo 2

ATENÇÃO MÁXIMA: ((f (x))/(g (x)))^' != (f ' ( x ))/(g ' ( x ))

NÃO vamos efetuar a regra da derivada do quociente, vamos fazer a divisão das respectivas derivadas, como dita o teorema!!!

Agora, vamos dar nomes aos bois:

f (x) = s e n ( (2)/(x) )

f^' (x) = (- 2)/(x^2) c o s ( (2)/(x) )

g (x) = (1)/(x)

g^' (x) = (- 1)/(x^2)

Então, temos que:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> oo)(l i m) ((- 2)/(x^2) c o s ( (2)/(x) ))/((- 1)/(x^2))

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> oo)(2 l i m ) c o s ( (2)/(x) )

Notem: nosso problema com a indeterminação sumiu!!!

OBS: underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) = 0

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2 underset(x -> oo)(l i m) c o s ( 0 )

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2 underset(x -> oo)(l i m) 1

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2

Passo 3

Próximo passo, vamos fazer o uso do teorema dito para efetuar as devidas igualdades:

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x ))

Tendo que:

underset(x -> oo)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = 2

Então:

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 2

Sabendo que:

f (x) = s e n ( (2)/(x) )

g (x) = (1)/(x)

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (s e n ( (2)/(x) ))/((1)/(x)) = 2

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