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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 56

56. Calcule

int (1)/(x^2 + k) d x

Passo 1

Podemos ter os seguintes casos:

k = 0 , k > 0 ou k < 0

Passo 2

Caso 1: k = 0

I_1 = int (1)/(x^2) d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C quando n != - 1

I_1 = (x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C

Logo,

I_1 = - (1)/(x) + C

Passo 3

Caso 3: k > 0

I_3 = int (1)/(x^2 + k) d x

Como k é positivo, podemos fazer o seguinte:

k = a^2

Assim,

I_3 = int (1)/(x^2 + a^2) d x

Colocando a^2 em evidencia no denominador:

I_3 = int (1)/(a^2 ((x^2)/(a^2) + 1)) d x

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = (x)/(a)

Derivando,

d u = (1)/(a) d x

Voltando para integral, temos:

I_3 = int (1)/(a^2 (u^2 + 1)) a d u

Logo,

I_2 = (1)/(a) * int (1)/(u^2 + 1) d u

Não esquece: int (d u)/(1 + u^2) = arctg (u) + C

Assim,

I_3 = (1)/(a) a r c t g (u) + C

Voltando para variável x ( u = x // a ) :

I_3 = (1)/(a) a r c t g ((x)/(a)) + C

Como a = sqrt(k)

I_3 = (1)/(sqrt(k)) a r c t g ((x)/(sqrt(k))) + C

Passo 4

Caso 2: k < 0

I_2 = int (1)/(x^2 + k) d x

Como k é negativo, podemos fazer o seguinte:

k = - a^2

Assim,

I_2 = int (1)/(x^2 - a^2) d x

Fatorando o denominador, temos:

I_2 = int (1)/((x - a) (x + a)) d x

Separando em frações parciais:

(1)/((x - a) (x + a)) = (A)/(x - a) + (B)/(x + a)

Logo,

(1)/((x - a) (x + a)) = (x (A + B) + (A - B) a)/((x - a) (x + a))

Montando um sistema:

{[[A + B = 0],[(A - B) a = 1]])

A solução fica o seguinte:

A = 1 // 2 a e B = - 1 // 2 a

Então nossa integral fica:

I = int ((1 // 2 a)/(x - a) + (- 1 // 2 a)/(x + a)) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I_2 = (1)/(2 a) * (int (1)/(x - a) d x - int (1)/(x + a) d x)

Logo,

I_2 = (1)/(2 a) ( ln |x - a| - ln |x + a| ) + C

Isto é,

I_2 = (1)/(2 a) ln |(x - a)/(x + a)| + C

Voltando para variável k ( a = sqrt(- k) )

I_2 = (1)/(2 sqrt(- k)) ln |(x - sqrt(- k))/(x + sqrt(- k))| + C

Resposta

Caso 1: k = 0

I_1 = - (1)/(x) + C

Caso 2: k < 0

I_2 = (1)/(sqrt(k)) a r c t g ((x)/(sqrt(k))) + C

Caso 3: k > 0

I_3 = (1)/(2 sqrt(- k)) ln |(x - sqrt(- k))/(x + sqrt(- k))| + C I_3

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