56. Calcule

∫ 1 x 2 + k d x

Passo 1

Podemos ter os seguintes casos:

k = 0 , k > 0 ou k < 0

Passo 2

Caso 1: k = 0

I 1 = ∫ 1 x 2 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + C   quando   n   ≠ - 1

I 1 = x - 2 + 1 - 2 + 1 + C

Logo,

I 1 = - 1 x + C

Passo 3

Caso 3: k > 0

I 3 = ∫ 1 x 2 + k d x

Como k é positivo, podemos fazer o seguinte:

k = a 2

Assim,

I 3 = ∫ 1 x 2 + a 2 d x

Colocando a 2 em evidencia no denominador:

I 3 = ∫ 1 a 2 x 2 a 2 + 1 d x

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = x a

Derivando,

d u = 1 a d x

Voltando para integral, temos:

I 3 = ∫ 1 a 2 u 2 + 1 a d u

Logo,

I 2 = 1 a ⋅ ∫ 1 u 2 + 1 d u

Não esquece: ∫ d u 1 + u 2 = arctg ⁡ u + C

Assim,

I 3 = 1 a a r c t g u + C

Voltando para variável x ( u = x / a ) :

I 3 = 1 a a r c t g x a + C

Como a = k

I 3 = 1 k a r c t g x k + C

Passo 4

Caso 2: k < 0

I 2 = ∫ 1 x 2 + k d x

Como k é negativo, podemos fazer o seguinte:

k = - a 2

Assim,

I 2 = ∫ 1 x 2 - a 2 d x

Fatorando o denominador, temos:

I 2 = ∫ 1 x - a x + a d x

Separando em frações parciais:

1 x - a x + a = A x - a + B x + a

Logo,

1 x - a x + a = x A + B + A - B a x - a x + a

Montando um sistema:

A + B = 0 A - B a = 1

A solução fica o seguinte:

A = 1 / 2 a e B = - 1 / 2 a

Então nossa integral fica:

I = ∫ 1 / 2 a x - a + - 1 / 2 a x + a d x

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I 2 = 1 2 a ⋅ ∫ 1 x - a d x - ∫ 1 x + a d x

Logo,

I 2 = 1 2 a ( ln ⁡ x - a - ln ⁡ x + a ) + C

Isto é,

I 2 = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C

Voltando para variável k ( a = - k )

I 2 = 1 2 - k ln ⁡ x - - k x + - k + C

Resposta

Caso 1: k = 0

I 1 = - 1 x + C

Caso 2: k < 0

I 2 = 1 k a r c t g x k + C

Caso 3: k > 0

I 3 = 1 2 - k ln ⁡ x - - k x + - k + C I 3

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