Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 30
Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função. Pra isso, a gente pode usar a regra de L’Hospital. Mas antes, a gente precisa saber se essa regra se aplica ao limite.
Isso porque a regra L’Hospital é geralmente aplicada quando temos uma indeterminação do tipo ou .
Então, vamos começar verificando o que acontece quando tende a zero na nossa função:
Beleza, temos uma indeterminação do tipo , então vamos aplicar a regra de L’Hospital para fugir dela. E como é mesmo essa regra? Bom, a gente deriva o numerador e o denominador da função, separadamente (nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein). E a gente faz quantas vezes forem necessárias, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.
Então, vamos lá!
Passo 2
Vimos que o limite tá na forma correta, beleza? Então vamos aplicar l’Hôspital. Derivando numerador e denominador separadamente, temos:
Mas, aplicando o limite aqui, teremos novamente a indeterminação . Então, vamos usar l’Hôspital novamente. Derivando em cima e embaixo, temos:
Parece sacanagem né? Mas veja só, se aplicarmos no limite, temos novamente . Então vamos usar l’Hôspital de novo, para obter:
Agora sim, podemos aplicar o limite:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉