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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 49

Mostre que:

int_0^1 (x)/(x^4 + 1) d x = (pi)/(8)

Passo 1

Então pessoal, para a integral que nos foi dada a melhor alternativa é fazermos uma substituição simples, do tipo:

u = x^2

d u = 2 x d x

Se substituirmos esses valores na nossa integral, teremos:

int_0^1 (x)/(x^4 + 1) d x = (1)/(2) int_0^1 (d u)/(u^2 + 1)

Show de bola, simplificamos bastante nossa integral!

Passo 2

Para nossa “nova” integral, temos que o resultado é bem conhecido, gente! É o famoso arco tangente, se liga:

(1)/(2) int_0^1 (d u)/(u^2 + 1) = (1)/(2) (a r c tan u) (1)/(0)

Mas como u = x^2 , então:

int_0^1 (x)/(x^4 + 1) d x = (1)/(2) (a r c tan x^2) (1)/(0)

Substituindo os intervalos de integração, teremos:

int_0^1 (x)/(x^4 + 1) d x = (1)/(2) ((pi)/(4)) = (pi)/(8)

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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int (x^2 + x + 1)/(( 2 x + 1 ) ( x^2 + 1 )) d x
int (2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) d x