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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 6

Calcule

int (2 x^2 + 4)/(x^3 - 8) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral

int (2 x^2 + 4)/(x^3 - 8) d x

Passo 2

O primeiro passo é fatorar o denominador

int (2 x^2 + 4)/(x^3 - 8) d x = int (2 x^2 + 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 )) d x

Agora temos que fazer as frações parciais

(2 x^2 + 4)/(( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 )) = (a_0)/(x - 2) + (a_2 x + a_1)/(x^2 + 2 x + 4)

Multiplicando a equação pelo denominador temos

((2 x^2 + 4) (x - 2) (x^2 + 2 x + 4))/((x - 2) (x^2 + 2 x + 4))

= (a_0 ( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 ))/(x - 2) + (( a_2 x + a_1 ) ( x - 2 ) ( x^2 + 2 x + 4 ))/(x^2 + 2 x + 4)

2 x^2 + 4 = a_0 (x^2 + 2 x + 4) + ( a_2 x + a_1 ) ( x - 2 )

Finalmente comparando temos a_0 = 1

Para o segundo temo temos que expandir a conta então

2 x^2 + 4 = x^2 + 2 x + 4 + a_2 x^2 - a_2 x + a_1 x - 2 a_1

Agora igualando os coeficientes 4 - 2 a_1 = 4

2 - 2 a_2 + a_1 = 0

1 + a_2 = 2

Resolvendo temos

a_2 = 1 e a_1 = 0

Passo 3

Logo ficamos com a integral

int (x)/(x^2 + 2 x + 4) + (1)/(x - 2) d x

Para o primeiro termo vamos fazer a segunte substituição

x^2 + 2 x + 4 - 3 + 3 = (x + 1)^2 + 3

u = x + 1

x = u - 1

d u = d x

int (x)/(x^2 + 2 x + 4) d x = int ((u - 1))/(u^2 + 3) d u = int (u)/(u^2 + 3) d u - int (1)/(u^2 + 3) d u

Na primeira integral vamos fazer outra substituição

u^2 + 3 = y

(d y)/(2) = u d u

Logo ficamos com

int (u)/(u^2 + 3) d u = int (1)/(2 y) d y = (1)/(2) ln y = (1)/(2) ln ( u^2 + 3 ) = (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 4 )

Passo 4

Para a segunda integral, teremos que por 3 em evidencia

(1)/(3) int (1)/((u^2)/(3) + 1) d u

Agora usaremos uma substituição trigonométrica

(u)/(sqrt(3)) = t g theta

d u = sqrt(3) sec^2 theta d theta

Portanto ficamos com

(sqrt(3))/(3) int (sec^2 theta)/(t g theta^2 + 1) d theta = (sqrt(3))/(3) int (sec^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = (sqrt(3))/(3) theta

Desfazendo a substituição

a r c t g ((u)/(sqrt(3))) = theta

E u = x + 1

Temos que

(1)/(3) int (1)/((u^2)/(3) + 1) d u = (sqrt(3))/(3) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(3)))

Juntando as duas integrais temos

int (x)/(x^2 + 2 x + 4) d x = int ((u - 1))/(u^2 + 3) d u = int (u)/(u^2 + 3) d u - int (1)/(u^2 + 3) d u = (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 4 ) - (sqrt(3))/(3) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(3)))

Passo 5

Por ultimo temos

int (1)/(x - 2) d x

Podemos fazer a seguinte substituição

x - 2 = v

d v = d x

Ficamos com

int (1)/(x - 2) d x = int (1)/(v) d v = ln v = ln ( x - 2 )

Passo 6

Basta juntar tudo para se obter a resposta

int (2 x^2 + 4)/(x^3 - 8) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 4 ) - (sqrt(3))/(3) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(3))) + ln ( x - 2 )

Resposta

int (2 x^2 + 4)/(x^3 - 8) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 2 x + 4 ) - (sqrt(3))/(3) a r c t g ((x + 1)/(sqrt(3))) + ln ( x - 2 )

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