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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 55

Considere as funções:

f x = 1 x 2 - 4   e   g x = x x 2 - 4

Cada uma das integrais pode ser calculada usando frações parciais e pelo menos uma outra técnica de integração. Demonstre duas técnicas diferentes para calcular cada uma dessas integrais e, em seguida, discuta as considerações que determinariam qual dessas técnicas que você usaria.

Passo 1

Então pessoal, para facilitar nossa visualização, vamos numerar nossas funções, ok? Temos que a primeira função é:

f x = 1 x 2 - 4

E a segunda função é:

f x = x x 2 - 4

Show! Para a primeira função vamos utilizar as seguintes regras de integração: frações parciais e substituição trigonométrica.

Já para a segunda função vamos utilizar as seguintes regras de integração: frações parciais e substituição simples.

Mãos à obra!

Passo 2

  • Integração da primeira função por frações parciais:

    • Escrevendo nossa divisão como frações parciais, teremos:

    1 x 2 - 4 = 1 x - 2 x + 2

    1 x - 2 x + 2 = A x - 2 + B x + 2

    Fazendo MMC do lado direito, teremos o seguinte galera:

    1 = A x + 2 + B x - 2

    1 = x A + B + 2 A - 2 B

    Comparando os graus, teremos o sistema:

    A + B = 0 2 A - 2 B = 1

    Da primeira equação tiramos que A = - B . Se substituirmos na segunda equação, teremos:

    B = - 1 4

    Logo:

    A = 1 4

    Beleza, resolvemos o sistema!

    Passo 3

    Tendo em vista os valores que encontramos, nossa integral se resume a:

    ∫ 1 x 2 - 4 d x = ∫ 1 4 x - 2 d x - ∫ 1 4 x + 2 d x

    Como temos x em ambos os denominadores, temos que o resultado dessas integrais será:

    ∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 4 ln ⁡ x - 2 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + C

    E esse é o resultado da integral utilizando o primeiro método, galera! Show!

  • Integração da primeira função utilizando substituição trigonométrica:

Para a função que nos foi dada, a substituição trigonométrica indicada é:

x = a . sec ⁡ θ

x = 2 . sec ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 2 . sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Então a integral que teremos que resolver será:

∫ 1 x 2 - 4 d x = 2 ∫ 1 4 sec 2 ⁡ θ - 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Simplificando, teremos:

2 ∫ 1 4 sec 2 ⁡ θ - 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 3

Dessa divisão que nós chegamos tem como realizar mais uma simplificação, se liga:

1 2 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 1 cos ⁡ θ . cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ csc ⁡ θ d θ

E o resultado dessa integral é manjado, galera! De acordo com as tabelas de integrais, temos:

1 2 ∫ csc ⁡ θ d θ = - 1 2 ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + C

Show, resolvemos a integral! Agora voltando para a variável x :

csc ⁡ θ = x x 2 - 4

cot ⁡ θ = 2 x 2 - 4

Substituindo no nosso resultado, teremos:

- 1 2 ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ = - 1 2 ln ⁡ x x 2 - 4 + 2 x 2 - 4 + C

Simplificando:

- 1 2 ln ⁡ x x 2 - 4 + 2 x 2 - 4 + C = - 1 2 ln ⁡ x + 2 x 2 - 4 + C

- 1 2 ln ⁡ x + 2 x 2 - 4 + C = 1 2 ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C

Utilizando as propriedades de logaritmo, teremos como resultado:

∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 4 ln ⁡ x - 2 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + C

Assim como chegamos pelo método anterior!

Passo 4

A segunda função sai por substituição simples, galerinha! Temos a seguinte integral:

∫ x x 2 - 4 d x

Fazendo:

u = x 2 - 4

Teremos que:

d u = 2 x d x

d u 2 = x d x

Substituindo:

∫ x x 2 - 4 d x = 1 2 ∫ d u u

Que nos dá como resultado:

1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ x 2 - 4 + C

E está aí nossa resposta, pessoal!

Quanto ao método mais interessante para resolvermos as integrais, temos que para a primeira função o melhor método foi frações parciais e o segundo método foi substituição simples. Substituição trigonométrica é sempre mais demorado e os detalhes são sutis, então é importante ter cuidado! 😉

Resposta

∫ 1 x 2 - 4 d x = 1 4 ln ⁡ x - 2 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + C

∫ x x 2 - 4 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 - 4 + C

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