Determine o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 , x >= 0 e y >= 0 .

Passo 1

Bem, A região é a formada pela interseção de duas esferas centradas no ponto 0,0 , uma com raio 1 e outra com raio 2. Porém, somente a com x ≥ 0 e y ≥ 0 . Ou seja, isso representa metade da esfera. Como o volume da esfera é dada por 4 3 π R 3 :

V = 1 2 4 3 π   2 3 - 4 3 π   1 3 = 14 3 π

Perceba, que esse valor é igual para rotações tanto em x , como em y . Também, temos a área de um círculo π R 2 , dessa forma:

A = 1 4 π 2 2 - π 1 2 = 3 4 π

Passo 2

Agora, aplicando o teorema de papus:

x c = y c = V 2 π A = 14 3 π 2 π 3 4 π = 28 9 π    

Resposta

x c = y c = 28 9 π

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