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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1d

Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

int int int_B f (x , y , z) d x d y d z = int int_K [int_(g (x , y))^(h (x , y)) f (x , y , z) d z] d x d y

Em que:

B = {(x , y , z) | g (x , y) <= z <= h (x , y) , (x , y) in K}

Que também pode ser representado por:

= int int_K [int_(g (y , z))^(h (y , z)) f (x , y , z) d x] d y d z

B = {(x , y , z) | g (y , z) <= z <= h (y , z) , (y , z) in K}

= int int_K [int_(g (x , z))^(h (x , z)) f (x , y , z) d y] d x d z

B = {(x , y , z) | g (x , z) <= z <= h (x , z) , (x , z) in K}

Passo 2

Logo:

int int int_B sqrt(1 - z^2) d x d y d z = int int_K [int_0^1 sqrt(1 - z^2) d y] d x d z

Neste caso, K é dado por:

0 <= x <= 1 e 0 <= z <= 1

Resolvendo a primeira integral:

= int int_K sqrt(1 - z^2) [y] | [[1],[0]] d x d z

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= int int_K [sqrt(1 - z^2)] d x d z

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= int int_K [sqrt(1 - z^2)] d x d z = int_0^1 [int_0^1 [sqrt(1 - z^2)] d z] d x

Usando o método da substituição simples com z = s e n u e d z = c o s u d u , tem-se que:

Quando z = 1 -> u = (pi)/(2)

Quando z = 0 -> u = 0

Logo:

= int_0^1 [int_0^(pi // 2) [sqrt(1 - s e n^2 u)] (c o s u d u)] d x = int_0^1 [int_0^(pi // 2) [c o s^2 u] d u] d x

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s^2 (n u) = (1 + cos (2 n u))/(2)

Tem-se:

= int_0^1 [int_0^(pi // 2) [(1 + cos (2 u))/(2)] d u] d x = (1)/(2) int_0^1 [int_0^(pi // 2) [1 + cos (2 u)] d u] d x

= (1)/(2) int_0^1 [u + (s e n (2 u))/(2)] | [[pi,//,2],[0]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(2) int_0^1 [(pi)/(2)] d x = (pi)/(4) int_0^1 d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= (pi)/(4) [x] | [[1],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é a região delimitada por z = x 2 + y 2 - 4 , z = 4 - x 2 - y 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é o solido do primeiro octante limitada por z = 4 - x 2,y = 0 ,z = 0ey = x .
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 1 - x - y d z d x d y
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y y d z d y d x