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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 17a

Escrever na forma de uma integral tripla iterada:

∫ ∫ ∫ T f d V

Onde T é a região delimitada por z = x 2 + y 2 - 4 ,     z = 4 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Lembra que na integral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção e isso é justamente iterar a nossa integral tripla.

Passo 2

Precisamos analisar a delimitação da nossa superfície T

Estamos tratando da seguinte região:

Nossa região T é a região de interseção entre os dois paraboloides elípticos

Portanto, seus limites são :

Encontramos o limite da variável y, fazendo z = 0

- 2 ≤ x ≤ 2

- 4 - x 2 ≤ y ≤ 4 - x 2

4 - x 2 - y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 - 4

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T z d V =   ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 4 f d z d y d x

Resposta

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 4 f d z d y d x

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