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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1e

Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x_c = (int int_B x d m)/(int int_B d m)

y_c = (int int_B y d m)/(int int_B d m)

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = delta (x , y) d x d y

Neste caso, B é dado por:

Tal que para:

0 <= x <= 1

E

x <= y <= x + 1

Além de que, para a densidade, o produto das coordenadas é:

delta (x , y) = x y

Passo 2

A massa de B é dada por:

int int_B d m = int_0^1 [int_x^(x + 1) (x y) d y] d x

= int_0^1 x [(y^2)/(2)] | [[x,+,1],[x]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(2) int_0^1 x [(x + 1)^2 - x^2] d x = (1)/(2) int_0^1 [x^3 + 2 x^2 + x - x^3] d x

= (1)/(2) [(2 x^3)/(3) + (x^2)/(2)] | [[1],[0]]

Assim:

= (1)/(2) [(2)/(3) + (1)/(2)] = (7)/(12)

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

int int_B x d m = int_0^1 [int_x^(x + 1) x (x y) d y] d x

= int_0^1 x^2 [(y^2)/(2)] | [[x,+,1],[x]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(2) int_0^1 x^2 [(x + 1)^2 - x^2] d x = (1)/(2) int_0^1 [x^4 + 2 x^3 + x^2 - x^4] d x

= (1)/(2) [(x^4)/(2) + (x^3)/(3)] | [[1],[0]]

Assim:

= (1)/(2) [(1)/(2) + (1)/(3)] = (5)/(12)

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

int int_B y d m = int_0^1 [int_x^(x + 1) y (x y) d y] d x

= int_0^1 x [(y^3)/(3)] | [[x,+,1],[x]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) int_0^1 x [(x + 1)^3 - x^3] d x = (1)/(3) int_0^1 [x^4 + 3 x^3 + 3 x^2 + x - x^4] d x

= (1)/(3) [(3 x^4)/(4) + x^3 + (x^2)/(2)] | [[1],[0]]

Assim:

= (1)/(3) [(3)/(4) + 1 + (1)/(2)] = (3)/(4)

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x_c = (5 // 1 2)/(7 // 1 2) = (5)/(7)

E

y_c = (3 // 4)/(7 // 1 2) = (9)/(7)

Logo:

((5)/(7) , (9)/(7))

Resposta

((5)/(7) , (9)/(7))

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