10. Seja z = f(u + 2v, u^2 - v) . Expresse ∂z / ∂u e ∂z / ∂v em termo de derivadas parciais de f

Passo 1

Pra começar, vamos escrever nossa função em termos de x e y . Inicialmente, temos o seguinte:

z = f u + 2 v ,   u 2 - v

Mudando para x e y :

x = u + 2 v

Derivando em relação a u :

∂ x ∂ u = 1

Derivando em relação a v :

∂ x ∂ v = 2

Para o y :

y = u 2 - v

Derivando em relação a u :

∂ y ∂ u = 2 u

Derivando em relação a v :

∂ y ∂ v = - 1

Passo 2

z = f x , y

Agora vamos encontrar ∂ z ∂ u :

∂ z ∂ u = ∂ f x , y ∂ x ∂ x ∂ u +   ∂ f x , y ∂ y ∂ y ∂ u

Do Passo 1, temos:

∂ x ∂ u = 1 e ∂ y ∂ u = 2 u

Logo,

∂ z ∂ u = ∂ f x , y ∂ x + 2 u   ∂ f x , y ∂ y

Passo 3

Por fim, vamos encontrar ∂ z ∂ v :

∂ z ∂ v = ∂ f x , y ∂ x ∂ x ∂ v +   ∂ f x , y ∂ y ∂ y ∂ v

Pegando o que achamos no Passo 1:

∂ x ∂ u = 2 e ∂ y ∂ u = - 1

Substituindo, temos:

∂ z ∂ v = 2 ∂ f x , y ∂ x -   ∂ f x , y ∂ y

Resposta

∂ z ∂ v = 2 ∂ f x , y ∂ x -   ∂ f x , y ∂ y

∂ z ∂ u = ∂ f x , y ∂ x + 2 u   ∂ f x , y ∂ y

Onde x = u + v e y = u 2 - v

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