Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ π / 4 π / 2 sec ⁡ θ   d θ

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. Neste caso temos que o integrando é a função secante que explode em θ = π / 2 . Assim, devemos fazer o seguinte:

∫ π / 4 π / 2 sec ⁡ θ   d θ = lim t → π 2 - ⁡ ∫ π / 4 t sec ⁡ θ   d θ

A integral será convergente se o limite existir e for finito.

Passo 2

Você deve lembrar que a primitiva da secante é l n do módulo de secante mais tangente:

∫ sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Assim, temos que

∫ π / 4 t sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ π 4 t

Portanto,

∫ π / 4 t sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - ln ⁡ | 2 + 1 |

Passo 3

Tomando o limite t → π 2 - , temos que

sec ⁡ t → ∞         e         tan ⁡ t → ∞

Assim, temos que

ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t → ∞

Desta forma, o limite não vai existir, de modo que a integral imprópria é divergente!

Resposta

Diverge.

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