Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 2a
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Sabemos que se uma função for diferenciável, ela é continua, então a primeira coisa que vamos verificar é a continuidade da função.
Para valores de, a função é bem definida e contínua, já neste ponto precisamos verificar. Calculando o limite
Usando o caminho
O valor da função no ponto é definido e , encontramos que por um dos caminhos, o limite de é diferente, o limite pode ou não existir, mas já temos informações suficientes para afirmar que não é contínua em .
Já que não é contínua na origem, nesse ponto a função não é diferenciável, para os outros pontos precisamos testar as derivadas parciais.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais, primeiro em
Como a função é simétrica em relação às variáveis
Podemos verificar que as derivadas são bem definidas para pontos diferentes de , e como já sabemos que nesse ponto a função não é diferenciável, não precisamos verificar sobre as derivadas.
Temos então que é diferenciável em todos os valores de .
Resposta
.