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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 1d

Calcule

int_0^1 ln x d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 0 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

int_0^1 ln x d x = underset(t -> 0)(lim) int_t^1 ln x d x

Passo 2

Para resolvermos essa integral, vamos usar um macete, usando a integração por partes

int f * g^' d t = f * g - int f^' * g d t

Mas nós só temos uma função, então vamos dizer que

int ln x d x = int 1 * ln x d x

E as nossas funções são

{[[f = ln x],[g^' = 1]]) -> (f^' = (1)/(x))/(g = x)

Então

int ln x d x = x * ln x - int (1)/(x) * x d x

= x * ln x - int 1 d x = x * ln x - x + C

No limite

underset(t -> 0)(lim) int_t^1 ln x d x = underset(t -> 0)(lim) [x * ln x - x]_t^1

Passo 3

Substituindo os limites de integração

underset(t -> 0)(lim) [x * ln x - x]_t^1 = underset(t -> 0)(lim) [1 * ln 1 - 1 - t * ln t - t]

= - 1 - underset(t -> 0)(lim) [t * ln t]

Para esse limite vamos manipular um pouco

underset(t -> 0)(lim) [t * ln t] = underset(t -> 0)(lim) [(ln t)/(1 // t)]

E então aplicamos L’Hospital

= underset(t -> 0)(lim) [(1 // t)/(- 1 // t^2)] = - underset(t -> 0)(lim) [(t^2)/(t)] = 0

Então

int_0^1 ln x d x = - 1

Resposta

- 1

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Em cada item, tente calcular exatamente a integral com um CAS. Se sua resposta não for numericamente simples, então use o CAS para encontrar uma aproximação numérica da integral. ∫ 1 + ∞ ln ⁡ x e x d
Em cada item, tente calcular exatamente a integral com um CAS. Se sua resposta não for numericamente simples, então use o CAS para encontrar uma aproximação numérica da integral. ∫ 0 + ∞ 1 1 + x 3 d x
Expresse a integral imprópria como um limite e, então, calcule esse limite com um CAS. Confirme sua resposta calculando diretamente as integrais com um CAS. ∫ 0 + ∞ e - x cos ⁡ x d x
Em cada item, confirme o resultado com um CAS. int_(- oo)^(+ oo) e^(- x^2) d x = sqrt(pi)
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral. (a