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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 25

Calcule as aproximações L n ,   R n ,   T n   e   M n para n = 4,8   e   16 . Então calcule os erros correspondentes E l , E r , E t   e   E m . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema algébrico computacional.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ 0 1 x 3 d x

Passo 1

Primeiramente, calculemos o valor real dessa integral ao qual chamaremos de I

I = ∫ 0 1 x 3 d x = x 4 4 0 1 = 1 4 = 0,25

Agora, vamos calcular cada um dos métodos (utilizando as fórmulas descritas no livro) para cada valor específico de n . Assim, para n = 4 teremos

L 4 = 1 4 ⋅ 0 3 + 1 4 3 + 2 4 3 + 3 4 3 = 0,140625

R 4 = 1 4 ⋅ 1 4 3 + 2 4 3 + 3 4 3 + 1 3 = 0,390625

T 4 = 1 4 ⋅ 2 ⋅ 0 3 + 2 ⋅ 1 4 3 + 2 4 3 + 3 4 3 + 1 3 = 0,265625

M 4 = 1 4 ⋅ 1 8 3 + 3 8 3 + 5 8 3 + 7 8 3 = 0,2421875

Seus respectivos erros serão

E l = I - L 4 = 0,109375

E r = I - R 4 = - 0,140625

E t = I - T 4 = - 0,015625

E M = I - M 4 = 0,0078125

Passo 2

Já para n = 8 vamos ter

L 8 = 1 8 ⋅ f 0 + f 1 8 + f 2 8 + … + f 7 8 ≈ 0,191406

R 8 = 1 8 ⋅ f 1 8 + f 2 8 + … + f 7 8 + f ( 1 ) ≈ 0,316406

T 8 = 1 8 ⋅ 2 ⋅ f 0 + 2 ⋅ f 2 8 + f 2 8 + … + f 7 8 + f 1 ≈ 0,253906

M 8 = 1 8 ⋅ f 1 16 + f 3 16 + … + f 13 16 + f 15 16 = 0,248047

Seus respectivos erros serão dados por

E l = I - L 8 = 0,058594

E r = I - R 8 = - 0,066406

E t = I - T 8 = - 0,003906

E m = I - M 8 = 0,001953

Passo 3

E finalmente para n = 16 teremos

L 16 = f 0 + f 1 16 + f 2 16 + … + f 15 16 ≈ 0,219727  

R 16 = 1 16 ⋅ f 1 16 + f 2 16 + … + f 15 16 + f 1 ≈ 0,282227

T 16 = 1 16 ⋅ 2 ⋅ f 0 + 2 ⋅ f 1 16 + f 2 16 + … + f 15 16 + f 1 ≈ 0,250877

M 16 = 1 16 ⋅ f 1 32 + f 3 32 + … + f 31 32 ≈ 0,249512

Seus erros sendo calculados da mesma forma que para os casos anteriores nos darão

E l = 0,030273 E r = - 0,032227 E t = - 0,000977 E m = 0,000488

Quando n dobra de valor E l e E r decrescem com um fator de 2 enquanto que E t e E m decrescem com um fator de 4. Além disso, todas as aproximações se tornam mais precisas a medida que o valor de n aumenta.

Resposta

Para n = 4

L 4 = 0,140625 ,   R 4 = 0,390625 ,   T 4 = 0,265625 ,   M 4 = 0,2421875

E l = 0,109375 ,   E r = - 0,140625 , E t = - 0,015625 ,   E m = 0,0078125

Para n = 8

L 8 = 0,191406 ,   R 8 = 0,316406 ,   T 8 = 0,253906 ,   M 8 = 0,248047

E l = 0,058594 ,   E r = - 0,066406 ,   E t = - 0,003906 ,   E m = 0,001953

Para n = 16

L 16 = 0,219727 ,   R 16 = 0,282227 ,   T 16 = 0,250977 ,   M 16 = 0,249512

E l = 0,030273 ,   E r = - 0,032227 ,   E t = - 0,000977 ,   E m = 0,000488

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