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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.7 - Ex. 18

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 0 4 cos ⁡ x d x , n = 10

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 4 , e vamos usar n = 10 , e com f x = cos ⁡ x temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 4 - 0 10 = 2 5 = 0,4

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 10 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 0,4 + 2 f 0,8 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 3,2 + 2 f 3,6 + f 4 = 1 2 ∙ 2 5 f 0 + 2 f 0,4 + 2 f 0,8 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 3,2 + 2 f 3,6 + f 4 ≈ 0,808532

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 10 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    3. M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 10 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 0,2 + f 0,6 + f 1,0 ∙ ∙ ∙ + f 3,4 + f 3,8 2 5 ≈ 0,803078

    Passo 3

  3. Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 10 = f 0 + 4 f 0,4 + 2 f 0,8 + 4 f 1,2 + ∙ ∙ ∙ ∙ + 2 f 3,2 + 4 f 3,6 + f 4 ∆ x 3 = f f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 2 2 + 4 f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + f 3 1 3 . 2 5 ≈ 0,804896

Resposta

  1. T 10 ≈ 0,803078
  2. M 10 ≈ 0,803078
  3. S 10 ≈ 0,804896
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