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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.7 - Ex. 14

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 0 1 z e - z d z , n = 10

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 , e vamos usar n = 10 , e com f x = z e - z temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 1 - 0 10 = 1 10

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 10 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f 0,1 + 2 f 0,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 0,8 + 2 f 0,9 + f 1 = 1 2 ∙ 1 10 f 0 + 2 f 0,1 + 2 f 0,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 0,8 + 2 f 0,9 + f 1 ≈ 0,372299

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 10 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    3. M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 10 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 0,05 + f 0,15 + f 0,25 ∙ ∙ ∙ + f 0,85 + f 0,95 1 10 ≈ 0,380894

    Passo 3

  3. Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 10 = f 0 + 4 f 0,1 + 2 f 0,2 + 4 f 0,3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 0,8 + 4 f 0,9 + f 1 ∆ x 3 = f 0 + 4 f 0,1 + 2 f 0,2 + 4 f 0,3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 0,8 + 4 f 0,9 + f 1 1 3 . 1 10 ≈ 0,376330

Resposta

  1. T 10 ≈ 0,372299
  2. M 10 ≈ 0,380894
  3. S 10 ≈ 0,376330
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