Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 66
Suponha que um vulcão esteja em erupção e que as leituras da taxa com que materiais sólidos são lançados na atmosfera sejam as dadas na tabela. O tempo é medido em segundos e a unidade para é toneladas por segundo.
- Dê estimativas superior e inferior para a quantidade do material proveniente da erupção após segundos.
- Use a Regra do Ponto Médio para estimar .
Passo 1
Galera, nessa questão nos é dado uma tabela com a taxa a qual materiais sólidos são lançados de um vulcão.
Queremos estimativas para saber quanto material foi lançado após segundos.
Temos as taxas para os tempos e.
Para achar a quantidade do material proveniente da erupção após segundos vamos usar o Teorema da Variação Total:
é zero, pois no instante inicial ainda nenhuma matéria foi lançada pelo vulcão.
Como a taxa é positiva, é uma função crescente, assim, para ter uma estimativa superior de devemos fazer a soma de Riemann pela direita achando , e a estimativa inferior seria pela esquerda .
A soma de Riemann é uma soma de áreas de retângulos formados a partir de subintervalos. A ideia é dividir a função que queremos integrar em pedaços e para cada pedaço teremos a área de um retângulo.
A soma de Riemann pela direita é:
E a soma de Riemann pela esquerda é:
é o espaçamento entre cada subintervalo da nossa soma.
Vamos calcular :
Temos que e , e é o número de subintervalos, que são , vamos substituir:
Dessa forma, nossos subintervalos serão:
Passo 2
Pronto, agora temos tudo que precisa para calcular e , vamos fazer isso:
Repare que para a soma a direita, eu uso os valores extremos da direita de cada subintervalo. E na soma a esquerda, eu uso os valores extremos da esquerda de cada subintervalo.
Temos então que a quantidade superior é de toneladas e a inferior toneladas.
Passo 3
Para usar a Regra do Ponto Médio, ao invés de usar os valores extremos dos subintervalos, vamos usar o valor do ponto médio.
Como nós temos as taxas para cada 1 segundo, vamos ter que usar um subintervalo menor.(afinal se usássemos os mesmos subintervalos que usamos no Passo 1 e 2, teríamos que ter o valor por exemplo da taxa no instante ou , o que não temos.)
Aqui vamos usar o número de subintervalos , assim temos:
Assim, nossos subintervalos serão:
E a fórmula para calcular é:
Onde é o tempo médio de cada intervalo.
Substituindo na fórmula teremos:
Então a estimativa de é de toneladas.
Resposta
- As estimativas do material proveniente da erupção após segundos superior é de toneladas e inferior de toneladas.
- A estimativa de é de toneladas.