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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 73

Expresse o limite como uma integral definida.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5

[Sugestão: Considere f x = x 4 .]

Passo 1

Para expressar esse limite como uma integral, temos que deixar o limite nesse formato:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Vamos manipular ele um pouco então:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 4 ∙ 1 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i n 4 ∙ 1 n

Temos então que:

∆ x = b - a n = 1 n = 1 - 0 n

Sabemos então que a = 0 e b = 1 e que f x = x 4 , pronto, já podemos deixar na forma de integral:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i n 4 ∙ 1 n = ∫ 0 1 x 4 d x

Resposta

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = ∫ 0 1 x 4 d x

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