Calcule a área do conjunto de todos os (x , y) tais que 4 x^2 + y^2 <= 1 .

Passo 1

Olá, galerinha! Vamos lá, vamos analisar a expressão, temos aqui que 4 x^2 + y^2 <= 1 é uma elipse, e que a equação da elipse pode ser escrita da seguinte maneira:

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1

E a gente consegue calcular a área dela pela seguinte fórmula:

A = pi * a * b

Mas estamos em um capítulo de integral! Então vamos usar a integral para resolver essa questão!

temos que a expressão 4 x^2 + y^2 <= 1 é uma elipse, e podemos ver ela na figura abaixo:

Vamos usar a expressão com igualdade para calcular a integral, e vamos calcular apenas a área do primeiro quadrante, e multiplicar o resultado por 4 , assim obtemos a área total.

Vamos montar a integral, o limite de integral é de 0 a (1)/(2) e vamos integrar em função de x , assim temos que isolar o x na expressão:

4 x^2 + y^2 = 1 -> y^2 = 1 - 4 x^2 -> y = sqrt(1 - 4 x^2)

Pronto, agora é só colocar na integral:

A = 4 int_0^((1)/(2)) sqrt(1 - 4 x^2) d x

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x

Aqui vamos usar a substituição trigonométrica e para isso vamos usar o seguinte triângulo retângulo,

Note que, sqrt(1 - 4 x^2) = sqrt(1 - (2 x)^2)

Vamos usar a seguinte substituição:

sen theta = (2 x)/(1) -> x = (1)/(2) sin theta

Derivando:

d x = (1)/(2) cos theta d theta

Fazendo a substituição ficamos com:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = int sqrt(1 - 4 ((1)/(2) sen theta)^2) (1)/(2) cos theta d theta =

Simplificando,

= (1)/(2) int sqrt(1 - sen^2 theta) cos theta d theta

Agora vamos usar a seguinte identidade sen^2 x + cos^2 x = 1 :

(1)/(2) int sqrt(1 - sen^2 theta) cos theta d theta = (1)/(2) int sqrt(cos^2 theta) cos theta d theta = (1)/(2) int cos theta cos theta d theta = (1)/(2) int cos^2 theta d theta

Vamos ter que usar outra identidade:

cos^2 theta = (1 + cos (2 theta))/(2)

Aplicando-a:

(1)/(2) int cos^2 theta d theta = (1)/(2) int (1 + cos (2 theta))/(2) d theta = (1)/(2) int (1)/(2) d theta + (1)/(2) int (cos (2 theta))/(2) d theta =

Pronto, chegamos a duas integrais que dá pra calcular, vamos calcular as duas separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c d x = c x + C

Aplicando:

(1)/(4) int 1 d theta = (1)/(4) theta + C

Passo 4

Vamos para segunda,

(1)/(2) int (cos (2 theta))/(2) d theta

Aqui vamis usar a Regra da Substituição

v = 2 theta

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 2 d theta -> (d v)/(2) = d theta

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(2) int (cos (2 theta))/(2) d theta = (1)/(2) int (cos v)/(2 * 2) d v = (1)/(8) int cos v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

Aplicando:

(1)/(8) int cos v d v = (1)/(8) sen v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = = (1)/(4) theta + (1)/(8) sen 2 theta + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo.

Então temos,

sen theta = (2 x)/(1) -> theta = arcsin 2 x

Substituindo,

int sqrt(1 - 4 x^2) d x = (1)/(4) arcsen (2 x) + (1)/(8) 2 sin 2 theta + C =

= (1)/(4) arcsen (2 x) + (1)/(8) sen (2 arcsen (2 x)) + C

Passo 6

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

A = 4 int_0^((1)/(2)) sqrt(1 - 4 x^2) d x = 4 ((1)/(4) arcsen (2 x) + (1)/(8) sen (2 arcsen (2 x)))_0^((1)/(2)) =

Aplicando,

= 4 [(1)/(4) arcsen (2 * (1)/(2)) + (1)/(8) sen (2 arcsen (2 * (1)/(2))) - ((1)/(4) arcsen (2 * 0) + (1)/(8) sen (2 arcsen (2 * 0)))] =

= 4 [(1)/(4) arcsen (1) + (1)/(8) sen (2 arcsen (1)) - ((1)/(4) arcsen (0) + (1)/(8) sen (2 arcsen (0)))] =

= 4 [(1)/(4) * (pi)/(2) + (1)/(8) sen (2 * (pi)/(2)) - ((1)/(4) * 0 + (1)/(8) sen (2 * 0))] = 4 [(pi)/(8) + (1)/(8) sen (pi) - ((1)/(8) sen (0))] =

= 4 [(pi)/(8) + (1)/(8) * 0 - ((1)/(8) * 0)] = 4 [(pi)/(8)] = (pi)/(2)

Resposta

A = (pi)/(2)

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