Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 2

Calcule a área do conjunto de todos os tais que .

Passo 1

Olá, galerinha! Vamos lá, vamos analisar a expressão, temos aqui que é uma elipse, e que a equação da elipse pode ser escrita da seguinte maneira:

E a gente consegue calcular a área dela pela seguinte fórmula:

Mas estamos em um capítulo de integral! Então vamos usar a integral para resolver essa questão!

temos que a expressão é uma elipse, e podemos ver ela na figura abaixo:

Vamos usar a expressão com igualdade para calcular a integral, e vamos calcular apenas a área do primeiro quadrante, e multiplicar o resultado por , assim obtemos a área total.

Vamos montar a integral, o limite de integral é de a e vamos integrar em função de , assim temos que isolar o na expressão:

Pronto, agora é só colocar na integral:

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

Aqui vamos usar a substituição trigonométrica e para isso vamos usar o seguinte triângulo retângulo,

Note que,

Vamos usar a seguinte substituição:

Derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Simplificando,

Agora vamos usar a seguinte identidade :

Vamos ter que usar outra identidade:

Aplicando-a:

Pronto, chegamos a duas integrais que dá pra calcular, vamos calcular as duas separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Aplicando:

Passo 4

Vamos para segunda,

Aqui vamis usar a Regra da Substituição

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Aplicando:

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo.

Então temos,

Substituindo,

Passo 6

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: