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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 31 b

Calcule as integrais. B) Usando substituição trigonométrica

Passo 1

Já que temos que usar substituição trigonométrica, nada melhor que visualizar o triângulo retângulo que dá origem à nossas substituições.

Vamos começar as contas então, blz?

x = 2   s e n θ   ⟹ d x = 2   c o s θ   d θ  

Daí,

∫ x   d x 4 - x 2   = ∫   2 ⋅ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 4 - 4   s e n 2 θ = ∫ 2 ⋅ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 4 ( 1 -   s e n 2 θ )    

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 temos que

∫ 2 ⋅ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 4 ( 1 -   s e n 2 θ )   =   ∫ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 2 ( cos 2 ⁡ θ )   =     ∫   t g θ   d θ =   ln ⁡ c o s θ + C  

Passo 3

Olhando para o nosso triângulo e sabendo que cosseno é cateto adjacente pela hipotenusa,

c o s θ   = 4 - x 2   2

Passo 4

Sendo assim, nossas contas ficam

∫ x   d x 4 - x 2   = ∫   t g θ   d θ =   ln ⁡ c o s θ + C   = ln ⁡ ( 4 - x 2   2 ) + C  

Resposta

∫ x   d x 4 - x 2   =   ln ⁡ ( 4 - x 2   2 ) + C  

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