Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 7
Calcule a área do conjunto de todos tais que e .
Passo 1
Como se trata de uma questão extensa, vamos fazê-la por etapas!
Inicialmente, vamos definir:
Vamos isolar na Eq.1:
Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:
Como é definido que: , sabemos que só serão aceitos valores de . Com isso, sabemos que nosso será delimitado pela área do gráfico acima do eixo e abaixo da curva dada.
Passo 2
Agora, vamos analisar a Eq.2:
Dada essa desigualdade, vamos ver o que ela significa geometricamente:
Como é definido que: sabemos que nosso será delimitado pela área do gráfico acima da curva dada.
Passo 3
Com isso, vamos calcular a área do gráfico que obedece as duas desigualdades dadas:
Pelo gráfico, percebemos que nosso intervalo de integração será de -1 até 1.
Como a área do gráfico de uma função é dada por uma Integral de Riemman, é necessário lembrar que sempre A>0, logo, a função área dada pelas desigualdades será escrita como:
Passo 4
Vamos separar as integrais:
Com isso, iremos resolver as integrais separadamente:
Para isso, vamos resolver, primeiro, as integrais indefinidas:
Vamos definir:
Então:
Atenção:
Onde a igualdade trigonométrica é válida:
Agora, ficou mais fácil:
ATENÇÃO MÁXIMA:
Agora, vamos substituir na nossa equação:
Agora, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo para achar o valor da integral definida:
Passo 5
Por fim, iremos resolver:
Inicialmente, vamos resolver a integral indefinida:
Vamos usar, novamente, o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo para achar o valor da integral definida:
Passo 6
Por fim: