Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado.

y = 2 x 3 ,   0 ≤ x ≤ 2 , eixo dos x

Passo 1

Nesses casos a gente usa a seguinte fórmula:

A = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Vamos começar derivando então...

f ' x = 6 x 2

Agora a gente joga na fórmula:

A = 2 π ∫ 0 2 2 x 3 1 + 6 x 2 2 d x

Passo 2

Vamos desenvolver agora...

A = 2 π ∫ 0 2 2 x 3 1 + 36 x 4 d x

Fazendo u = 36 x 4 + 1 temos d u = 144 x 3 d x → d u 72 = 2 x 3 d x .

Vamos substituir agora:

A = 2 π ∙ 1 72 ∫ u   d u

A = π 36 2 3 u 3 2

A = 2 π 108 36 x 4 + 1 3 2 0 2

A = π 54 ( 577 3 2 - 1 )  

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

A = π 54 ( 577 3 2 - 1 )  

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