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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.2 - Ex. 5

Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x .

5. y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema?! Temos:

y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 2

E precisamos calcular a área da superfície obtida quando rotacionamos da curva em torno do eixo x , pra isso vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ a b 2 π   y   1 + ( y ' ) 2   d x

Temos que:

d d x x 3 = 3 x 2

Agora vamos montar a nossa integral!

Passo 2

Aplicando a fórmula vamos ficar com

A = ∫ 0 2 2 π   x 3   1 + ( 3 x 2 ) 2   d x

Lembrando que para y ' , nós derivamos y , assim

y = x 3 → y ' = 3 x 2

Ajeitando a função ficamos com,

A = 2 π   ∫ 0 2 x 3   1 + 9 x 4   d x

Agora vamos integrar!

Passo 3

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição simples!

A = 2 π   ∫ 0 2 x 3   1 + 9 x 4   d x

Vamos chamar

u = 1 + 9 x 4

d u = 36 x 3 d x → d u 36 = x 3 d x

Com isso, a nossa integral fica,

∫ x 3   1 + 9 x 4   d x = ∫ u d u 36

Calculando,

∫ u d u 36 = 1 36 2 3 u 3 2 = u 3 2 54

Voltando para variável x

A = 2 π   ∫ 0 2 x 3   1 + 9 x 4   d x = 2 π 1 + 9 x 4 3 2 54 0 2 = π 145 3 2 27

Prontinho!!

Resposta

π 145 3 2 27

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