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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 3

Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x .

y = 4 - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

E aí, tudo joia?

Nessas de calcular área de superfície da curva girando em torno do eixo x a gente usa essa fórmula aqui:

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Beleza, vamos aplicar isso na nossa função e intervalo então!

Passo 2

Derivando a função a gente tem:

y ' = 1 2 4 - x 2 - 2 x

y ' =   - x 4 - x 2

Aí nossa integral fica:

S = ∫ - 1 1 2 π 4 - x 2   1 + - x 4 - x 2 2   d x

Passo 3

Vamos dar uma desenvolvida nessa expressão agora:

S = ∫ - 1 1 2 π 4 - x 2   1 + x 2 4 - x 2   d x

= ∫ - 1 1 2 π 4 - x 2   4 - x 2 + x 2 4 - x 2   d x

= ∫ - 1 1 2 π 4 - x 2 4 4 - x 2   d x

= ∫ - 1 1 2 π   4   d x

Olha que maravilha!

= 4 π x - 1 1

= 4 π + 4 π

= 8 π

E pronto! Essa é a área da superfície😉

Resposta

S =   8 π

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