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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3b

Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule

lim h → 0 ⁡ f p + 3 h - f p h

Passo 1

Se supormos que existam funções g u e u = f x , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F x = g u onde u = f x , x ∈ D f , lim x → p ⁡ f x = a ( u → a para x → p )

e que lim u → a ⁡ g u exista. Então:

lim x → p ⁡ F x = lim u → a ⁡ g u

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável:

u = 3 h

Temos então que u → 0 para h → 0 :

lim h → 0 ⁡ f p + 3 h - f p h = lim u → 0 ⁡ f p + u - f p u 3 = lim u → 0 ⁡ 3 ∙ f p + u - f p u = 3 lim u → 0 ⁡ f p + u - f p u

Vamos agora fazer outra mudança de variável:

x = p + u

Temos então que x → p para u → 0 :

3 lim u → 0 ⁡ f p + u - f p u = 3 lim x → p ⁡ f x - f p x - p = 3 L

Resposta

lim h → 0 ⁡ f p + 3 h - f p h = 3 L

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Calcule o limite, se existir. lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4
55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.61. lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x - x [Sugestão: t = - x ].
55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.62. lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x [Sugestão: t = x 2 ].
Seja f x = 1 + 1 x x .a) Prove a identidade: f - x = x x - 1 . f ( x - 1 ) b) Use a Equação ( 7 ) e a identidade da parte a) para provar a Equação ( 8 ) .
67. a) Calcule os valores (aproximados) dos termos da sequência: 1,01 101 ,1,001 1001 ,1,0001 10001 ,1,00001 100001 ,1,000001 1000001 ,1,0000001 10000001 … De qual número esses termos aparentemente se