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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 22

Calcule a área limitada pelo laço do estrofoide

r = 2 cos ⁡ θ - sec ⁡ θ

Passo 1

Vamos plotar o gráfico do laço do estrofoide através de um software para termos ideia da área que estamos calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção da curva com ela mesma, já que queremos a área de dentro do laço.

Para isso, igualamos r a zero em busca do valor de θ :

2 cos ⁡ θ - sec ⁡ θ = 0

Substituindo sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

2 cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ = 0

Resolvendo MMC teremos

2 cos 2 ⁡ θ - 1 = 0

2 cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = ± 2 2

Temos então θ = π 4 ou θ = 3 π 4 .

Passo 3

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de θ = 0 até θ = π 4 e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham? Vai ficar um negócio assim:

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Assim,

r = 2 cos ⁡ θ - sec ⁡ θ

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ θ - sec ⁡ θ 2 d θ

Resolvendo o produto notável

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 4 cos 2 ⁡ θ - 4 cos ⁡ θ sec ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ e cos 2 ⁡ θ = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) .

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 4 ∙ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ - 4 cos ⁡ θ cos ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Simplificando a equação, temos

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) - 4 + sec 2 ⁡ θ d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 - 2 + 2 cos ⁡ 2 θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 5

Separando as integrais e resolvendo

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 - 2 d θ + ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ 2 θ d θ + ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ

A 1 = 1 2 - 2 θ + 2 2 sen ⁡ 2 θ + tan ⁡ θ π / 4 0

A 1 = 1 2 - 2 . π 4 + sen ⁡ π 2 + tan ⁡ π 4 - - 2.0 + sen ⁡ 0 + tan ⁡ 0

A 1 = 1 2 - π 2 + 1 + 1 - 0 + 0 + 0

A 1 = 1 - π 4

Assim, a área total da curva é:

A = 2 × A 1 = 2 - π 2

Resposta

A = 2 - π 2

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Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r 2 = 8 c o s 2 θ r = 2
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 + 5s e n6 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r = 2 + s e n θ r = 3 s e n θ
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado. r = c o s θ , 0 ≤ θ ≤ π 6
Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado. r = 1 θ , π / 2 ≤ θ ≤ 2 π