Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.

r = 1 / θ, π / 2 ≤ θ ≤ 2π

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 1 θ

Queremos calcular a área da região delimitada por essa curva no intervalo π / 2 ≤ θ ≤ 2 π .

Para isso, a gente tem que saber que a área A é dada pela seguinte integral:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Precisamos apenas aplicar a integral que descreve a área da região limitada por r , os limites de integração serão o intervalo do ângulo que foi dado:

A = ∫ π 2 2 π 1 2 r 2 d θ

Substituindo r :

A = ∫ π / 2 2 π 1 2 θ 2 d θ

Vamos então resolver primeiro a integral indefinida e depois aplicamos os limites na função resultante:

∫ 1 2 θ 2 d θ = - 1 2 θ + c

Passo 3

Colocando os limites de integração, ficamos com:

A = - 1 4 π + 1 2 π / 2

Resolvendo a soma, encontramos a nossa área:

A = 3 4 π

Resposta

A = 3 4 π

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