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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 65

Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .

65. x = 3 t 2 ,     y = 2 t 3 ,       0 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Então meu amigo, vamos resolver essa atividade.

Queremos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva

  x = 3 t 2 ,     y = 2 t 3 ,       0 ≤ t ≤ 5

em torno do eixo y .

Sabemos que a área de uma superfície para esses casos é dada por:

S = ∫ a b 2 π x   d s

Sendo que

d s =   d x d t 2 + d y d t 2

O limite de integração já nos é dado, só nos resta então encontrarmos d s .

Passo 2

Então vamos calcular d s primeiro:

d s = d d t 3 t 2 + d d t 2 t 3

Colocando as derivadas ao quadrado:

d s = 6 t 2 + 6 t 2 2

d s = 36 t 2 + 36 t 4

Colocando o termo comum em evidência:

d s = 36 t 2 1 + t 2

d s = 6 t 1 + t 2

Agora vamos a montagem e cálculo da nossa integral:

S = ∫ 0 5 2 π x   d s

Substituindo d s e x = 3 t 2 :

S = ∫ 0 5 2 π 3 t 2 6 t 1 + t 2 d t

Retirando as constantes da integral:

S = 18 π ∫ 0 5 t 2 1 + t 2 2 t   d t

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples, chamando 1 + t 2 = u ,       2 t d t = d u . Com a mudança precisamos encontrar o novo intervalo de integração:

    0 ≤ t ≤ 5

Quando t = 0 :

u = 1

E

Quando t = 5 :

u = 26

Então agora calculando a integral:

S = 18 π ∫ 1 26 ( u - 1 ) u   d u

Realizando a distributiva e colocando a notação de fração na raiz:

S = 18 π ∫ 1 26 ( u 3 2 - u 1 2 )   d u

Realizando a integral:

S = 18 π 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 26

Calculando os intervalos de integração:

S = 18 π 2 5 . 676 26 - 2 3 . 26 26 - 2 5 - 2 3

Temos então:

S = 24 5 π ( 949 26 + 1 )

Resposta

S = 24 5 π ( 949 26 + 1 )

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