Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 62
(a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre o volume do sólido resultante.
(b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor, encontre o volume resultante.
Passo 1
(a) E aí, galera! Aqui a gente vai girar uma elipse em torno de um dos seus eixos (o maior), e isso vai formar um sólido, né. Podemos supor que o eixo maior é o eixo . Nesse caso, nossa equação ficaria:
com . Então, a gente calcula o volume desse sólido.
Passo 2
Se a gente tá girando a elipse em torno do eixo , vamos lembrar lá do Cálculo como é a fórmula do volume?
Então a gente isola na equação da elipse pra substituir na integral, beleza?
Como os vértices da nossa elipse correspondem a e , a integral fica assim:
Passo 3
(b) Show! Agora temos que girar a elipse em torno do eixo menor, certo? Vamos considerar que esse é o eixo então a equação continua a mesma:
com
Como agora o giro é em torno do eixo , a fórmula fica assim:
Isolamos da equação da elipse:
Os extremos da elipse equivalem a e , então:
Beleza?
Resposta
(a)
(b)