Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 51
Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição quando varia em um dado intervalo de tempo. Compare com o comprimento da curva.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
Dada a curva parametrizada:
Nessa questão, precisamos encontrar a distância percorrida pela partícula e o comprimento da curva percorrida por ela. Mas qual a diferença entre as duas coisas?
Bom, a curva completa é percorrida quando vai de a , pois a curva é o segmento de
que se encontra no primeira quadrante (desde que , e este segmento é completamente percorrido quando vai de a .
Já a distância percorrida pela partícula se dá quando vai de a . A distância e o comprimento irão utilizar a mesma relação:
O que iremos mudar é o limite de integração.
Passo 2
Então vamos começar encontrando as derivadas:
Aplicando a regra da cadeia:
Agora vamos para derivação de :
Substituindo na nossa equação de integral:
Utilizando a identidade trigonométrica:
Retirando a raiz:
Integrando:
Colocando os limites de integração:
Para , a partícula está na posição: , que é a posição de onde ela começou.
De até , a partícula viajou ao longo da curva vezes indo e voltando, o que significa que a partícula percorreu a rota vezes.
Resposta