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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 1b

Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada.

b )   f x = R 2 - x 2 ,   - R ≤ x ≤ R ( R > 0 )

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve a área de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 2 π f x 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d ( R 2 - x 2 ) d x = - 2 x 2 R 2 - x 2 = - x R 2 - x 2

Agora substituímos:

∫ - R R 2 π R 2 - x 2 1 + - x R 2 - x 2 2 d x = ∫ - R R 2 π R 2 - x 2 1 + x 2 R 2 - x 2 d x

∫ - R R 2 π R 2 - x 2 R 2 - x 2 + x 2 R 2 - x 2 d x = ∫ - R R 2 π R 2 - x 2 R 2 R 2 - x 2 d x = 2 π ∫ - R R R d x

Passo 2

Agora que temos a integral vamos integrá-la:

2 π ∫ - R R R d x = 2 π R x R - R = 2 π R R - ( - R ) = 4 π R 2

Resposta

∫ - R R 2 π R 2 - x 2 1 + - x R 2 - x 2 2 d x = 4 π R 2

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