Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

b) f(x) = x^2, 0 <= x <= raiz(3)

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve o comprimento de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d x 2 d x = 2 x

Agora substituímos:

∫ 0 3 1 + 2 x 2 d x = ∫ 0 3 1 + 4 x 2 d x

Repara que essa integral parece complicada de resolver, mas que a raíz dela parece muito com Pitágoras.

Para esse caso vamos considerar o triângulo abaixo:

Repara que se o cateto adjacente for 2x e o cateto oposto for 1, ficamos com hipotenusa igual a 1 + 4 x 2 . Por consequência tan ⁡ θ = 2 x   e sec ⁡ θ = 1 + 4 x 2 ainda vamos ter 2 d x = sec 2 ⁡ θ   d θ

Esse método é chamado de Substituição trigonométrica.

Assim, substituindo teremos:

1 2 ∫ 0 π 3 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ

Sabemos que sec 2 ⁡ θ = d d x ( tan ⁡ θ ) , então podemos usar isso para calcular essa integral com o método de integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vimos que dv é d v = sec 2 ⁡ θ → v = tan ⁡ θ , então u = sec ⁡ θ → d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ assim vemos que:

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ  

Tem um lance aqui, vemos que apareceu um ∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ do lado direito, vamos jogá-lo positivo pro lado esquerdo e podemos somar os termos, ficamos com:

2 ∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ∫ sec ⁡ θ d θ  

A integral ∫ sec ⁡ θ d θ tem um resultado tabelado que é:

∫ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ

Se fazemos que u = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ → d u = ( sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ ) d θ

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Então:

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + l n tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Beleza! Agora só jogar os limites de integração:

Passo 2

1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ π 3 0 = 1 2 3 × 2 3 + ln ⁡ 3 + 2 3 - ln ⁡ 1 =

= 1 2 2 + ln ⁡ 3 + 2 3 3

Resposta

V o l u m e = ∫ 0 3 1 + 4 x 2 d x = 1 2 2 + ln ⁡ 3 + 2 3 3  

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