Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada.

a) f(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, -1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve a área de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 2 π f x 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d e x + e - x 2 d x = e x - e - x 2

Agora substituímos:

∫ - 1 1 2 π e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2 d x

Passo 2

Agora, vamos resolver a integral do passo anterior:

∫ - 1 1 2 π e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2 d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x 1 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4   d x

E fazemos as contas:

= π ∫ - 1 1 e x + e - x 4 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4   d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x e 2 x + 2 + e - 2 x 4   d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x e x + e - x 2 2 2 d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x e x + e - x 2 d x =

= π 2 ∫ - 1 1 e x + e - x 2 d x =

= π 2 ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x d x

Agora, é só integrar:

π 2 ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x d x = π 2 e 2 x 2 + 2 x - e - 2 x 2 - 1 1 =

= π 2 e 2 2 + 2 - e - 2 2 - e - 2 2 - 2 - e 2 2 =

= π 2 e 2 2 + 2 - e - 2 2 - e - 2 2 + 2 + e 2 2 =

= π 2 e 2 + 4 - e - 2

Prontinho! Acabou!

Resposta

∫ - 1 1 2 π e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2 d x = π 2 e 2 + 4 - e - 2

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