Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

b) f(x) = ln(x), 1 ≤ x ≤ e

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve o comprimento do gráfico, como sabemos ela é:

L = ∫ a b 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d l n x d x = 1 x

Agora substituímos:

L = ∫ 1 e 1 + 1 x 2 d x = ∫ 1 e x 2 + 1 x 2 d x = ∫ 1 e x 2 + 1 x d x

Passo 2  

Essa equação tem cara de algo conhecido, a equação de cima( x 2 + 1 ) parece que vem de Pitágoras.

Repara nesse triângulo:

Se os lados dele fossem:

h i p o t e n u s a = x 2 + 1 , c a t e t o   o p o s t o = x e c a t e t o   a d j a c e n t e = 1

Teríamos por consequência, que a f(x) na equação seria:

f x = x 2 + 1 x = csc ⁡ θ

E:

x 1 = tan ⁡ θ → d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Assim, substituindo, temos:

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Analisando essa nova equação pode ser difícil de fazer por outros métodos, mas por acaso temos a relação já dada que

x = tan ⁡ θ → d x = sec 2 ⁡ θ d θ

E isso nos remete a Integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Reescrevendo a relação, temos:

v = tan ⁡ θ → d v = sec 2 ⁡ θ d θ

Por consequência:

u = csc ⁡ θ → d u = - csc ⁡ θ cot ⁡ θ d θ

Substituindo:

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ csc ⁡ θ - ∫ - csc ⁡ θ cot ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

cot ⁡ θ tan ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ tan ⁡ θ = 1

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ csc ⁡ θ + ∫ csc ⁡ θ d θ

∫ csc ⁡ θ d θ = ∫ csc ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ = ∫ csc 2 ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ + ∫ - cot ⁡ θ csc ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ

Se n = csc ⁡ θ + cot ⁡ θ → d n = csc 2 ⁡ θ + cot ⁡ θ csc ⁡ θ

- ∫ 1 n d n = - ln ⁡ n = - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ

Logo:

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ csc ⁡ θ - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ =

Voltando pra coordenada x:

x x 2 + 1 x - ln ⁡ x 2 + 1 x + 1 x = x x 2 + 1 x - ln ⁡ x 2 + 1 + 1 x

Passo 3

Agora voltamos aos limites de integração:

x x 2 + 1 x - ln ⁡ x 2 + 1 + 1 x e 1

e e 2 + 1 e - ln ⁡ e 2 + 1 + 1 e - 2 - ln ⁡ 1 + 2 =

e 2 + 1 - 2 + ln ⁡ e 2 + 1 e 2 + 1 + 1 = e 2 + 1 - 2 + ln ⁡ e × 2 + 1 e 2 + 1 + 1 =

e 2 + 1 - 2 + ln ⁡ 2 + 1 e 2 + 1 + 1 + ln ⁡ e = e 2 + 1 - 2 + ln ⁡ 2 + 1 e 2 + 1 + 1 + 1

Resposta

L =   e 2 + 1 - 2 + ln ⁡ 2 + 1 e 2 + 1 + 1 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados