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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 1c

Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada.

c )   y = x 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 2

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve a área de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 2 π f x 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d ( x 2 ) d x = 2 x

Agora substituímos:

∫ 0 1 2 2 π x 2 1 + 2 x 2 d x = ∫ 0 1 2 2 π x 2 1 + 4 x 2 d x

Passo 2

Agora Resolvemos a integral

∫ 0 1 2 2 π x 2 1 + 4 x 2 d x

Repara que essa integral parece complicada de resolver, mas que a raíz dela parece muito com Pitágoras.

Para esse caso vamos considerar o triângulo abaixo:

Repara que se o cateto adjacente for 2x e o cateto oposto for 1, ficamos com hipotenusa igual a 1 + 4 x 2 . Por consequência tan ⁡ θ = 2 x   e sec ⁡ θ = 1 + 4 x 2 ainda vamos ter 2 d x = sec 2 ⁡ θ   d θ

Esse método é chamado de Substituição trigonométrica.

Assim, substituindo teremos:

∫ 0 π 4 2 π tan 2 ⁡ θ 4 × sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ 2   d θ = π 4 ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ   d θ = π 4 ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) sec 3 ⁡ θ   d θ =

π 4 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ - π 4 ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ

Sabemos que sec 2 ⁡ θ = d d x ( tan ⁡ θ ) , então podemos usar isso para calcular essas integrais com o método de integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vimos que dv para ambos os casos é d v = sec 2 ⁡ θ → v = tan ⁡ θ , então, para a segunda integral, u = sec ⁡ θ → d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ assim vemos que:

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ  

Tem um lance aqui, vemos que apareceu um ∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ do lado direito, vamos jogá-lo positivo pro lado esquerdo e podemos somar os termos, ficamos com:

2 ∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ∫ sec ⁡ θ d θ  

A integral ∫ sec ⁡ θ d θ tem um resultado tabelado que é:

∫ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ   d θ

Se fazemos que u = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ → d u = ( sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ ) d θ

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Então:

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + l n tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Para a primeira integral temos que

d v = sec 2 ⁡ θ d θ → v = tan ⁡ θ   e u = sec 3 ⁡ θ → d u = 3 sec 2 ⁡ θ ( sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ 3 sec 2 ⁡ θ ( sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) tan ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - 3 ∫ sec 3 ⁡ θ ( tan 2 ⁡ θ ) d θ

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - 3 ∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - 3 ∫ ( sec 5 - ⁡ sec 3 ⁡ θ ) d θ

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - 3 ∫ sec 5 ⁡ d θ + 3 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Aqui rola o mesmo que na outra, passamos a integral 3 ∫ sec 5 ⁡ d θ para o outro lado, ficamos com:

4 ∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ + 3 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Já sabemos fazer ∫ sec 3 ⁡ θ d θ :

∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + l n tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Então, temos:

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 4 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ + 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + l n tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Passo 3

Aplicando, agora, o limite de integração:

∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 4 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ + 3 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + l n tan ⁡ θ + sec ⁡ θ π 4 0 =

= 1 4 sec 3 ⁡ π 4 tan ⁡ π 4 + 3 2 tan ⁡ π 4 sec ⁡ π 4 + l n tan ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4 - sec 3 ⁡ 0 tan ⁡ 0 + 3 2 tan ⁡ 0 sec ⁡ 0 + l n tan ⁡ 0 + sec ⁡ 0 =

A parte do limite inferior vai dar 0

= 1 4 2 3 × 1 + 3 2 1 × 2 + 3 2 ln ⁡ 1 + 2   =

= 2 2 + 3 8 2 + 3 ln ⁡ 1 + 2   8 = 7 8 2 + 3 ln ⁡ 1 + 2   8

E ∫ sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + l n tan ⁡ θ + sec ⁡ θ π 4 0 =

Vai dar zero pro limite de integração inferior:

1 2 tan ⁡ π 4 sec ⁡ π 4 + l n tan ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4 = 1 2 1 × 2 + ln ⁡ 2 + 1 = 2 2 + ln ⁡ 2 + 1 2

Então, teremos:

π 4 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ - π 4 ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ   d θ =

= π 4 7 8 2 + 3 ln ⁡ 1 + 2   8 - 2 2 + ln ⁡ 2 + 1 2 = π 32 7 2 - 4 2 + ln ⁡ 1 + 2   3 - 4 =

= π 32 3 2 - ln ⁡ 1 + 2  

Resposta

∫ 0 1 2 2 π x 2 1 + 4 x 2 d x = π 32 3 2 - ln ⁡ 1 + 2  

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