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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 17

A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante

x = a 2 - y 2 ,     0 ≤ y ≤ a / 2

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π x 1 + d x d y 2   d y

Então, vamos primeiro calcular x '

x ' = 1 2 a 2 - y 2 - 1 2 - 2 y = - y a 2 - y 2

Agora, vamos calcular o termo da raiz

1 + d x d y 2 = 1 + y 2 a 2 - y 2 = a 2 - y 2 + y 2 a 2 - y 2 = a 2 a 2 - y 2 = a a 2 - y 2

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 0 a 2 2 π a 2 - y 2 ⋅ a a 2 - y 2 d y = 2 π ∫ 0 a 2 a   d y = 2 π a y 0 a 2 = 2 π a a 2 = π a 2

Resposta

S = π a 2

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