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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 23

Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x

y = 1 x ,     1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular y '

y ' = - 1 x 2

Agora, vamos calcular o d s

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + 1 x 4 d x

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 1 2 2 π 1 x   1 + 1 x 4 d x = 2 π ∫ 1 2 x 4 + 1 x 3 d x

Seja u = x 2 , temos que d u = 2 x   d x . Substituindo, temos que

2 π ∫ 1 2 x 4 + 1 x 3 d x = π ∫ 1 4 u 2 + 1 u 2 d x

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado

π ∫ 1 4 u 2 + 1 u 2 d x = π - 1 + u 2 u + ln ⁡ u + 1 + u 2 1 4 = π - 17 4 + ln ⁡ 4 + 17 + 2 1 - ln ⁡ 1 + 2 = π 2 - 17 4 + ln ⁡ 4 + 17 1 + 2

Resposta

S = π 2 - 17 4 + ln ⁡ 4 + 17 1 + 2

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