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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 38

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 1 e 1 x x 3 d x

Passo 1

A questão pede você tentar calcular a integral imprópria e assim verificar se ela converge ou não.

Neste caso, o problema no integrando ocorre em x = 0 , de modo que devemos primeiro calcular a integral

∫ t 1 e 1 x x 3 d x

e só depois fazer t → 0 .

Passo 2

Vamos achar uma primitiva para e 1 x / x 3 usando integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, chamando u = 1 / x e d v = e 1 x d x / x 2 , segue que d u = - d x / x 2 e v = - e 1 / x . Desta forma

∫ e 1 x x 3 d x = - e 1 x x - ∫ e 1 x x 2 d x = - e 1 x x + e 1 x = e 1 x   1 - 1 x

Assim,

∫ t 1 e 1 x x 3 d x = e 1 x   1 - 1 x t 1 = e 1 - 1 - e 1 t   1 - 1 t = e 1 t 1 t - 1

Passo 3

Agora vamos fazer t → 0 + :

lim t → 0 + ⁡ e 1 t   1 t - 1 = lim t → 0 + ⁡ e 1 t   1 - t t = "∞⋅∞ " = ∞

Portanto, a integral diverge.

Resposta

Diverge.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ - 1 0 1 x 2 d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ 0 3 1 x ⋅ x d x
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: ∫ 0 1e - x xd x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquela integrais que são convergentes. ∫ - 1 1 e x e x - 1d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquela integrais que são convergentes. ∫ 1 9 1 x - 9 3d x