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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 64

Faça uma substituição u apropriada da forma u = x 1 / n ou u = x + a 1 / n e, então, calcule a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x x + 3 1 / 5     d x  

Passo 1

Faça uma substituição da forma u = x + a 1 / n .

Se :

u = ( x + 3 ) 1 / 5

u 5 = x + 3

5 u 4 d u = d x

Podemos reescrever a equação como:

∫ x x + 3 1 / 5     d x   = ∫ u 5 - 3 u     5 u 4 d u    

Então:

∫ x x + 3 1 5     d x   = ∫ 5 u 4 u 5 - 3 u     d u = 5 ∫ u 3 u 5 - 3 d u = 5 ∫ ( u 8 - 3 u 3 ) d u

Resolvendo a integral:

∫ x x + 3 1 5     d x = 5 u 9 9 - 15 u 4 4 + C

Retornando a substituição u = x + 3 1 / 5 :

∫ x x + 3 1 5     d x = 5 ( x + 3 1 5 ) 9 9 - 15 ( x + 3 1 5 ) 4 4 + C

Simplificando:

∫ x x + 3 1 5     d x = 5 x + 3 9 5 9 - 15 x + 3 4 5 4 + C

Passo 2

Usando um CAS (pode ser até mesmo um programa online como é o caso do Symbolab):

Resposta

∫ x x + 3 1 5     d x = 5 x + 3 9 5 9 - 15 x + 3 4 5 4 + C

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