Use as desigualdades (12), (13) e (14) da Seção 7.7 para encontrar um número n de subintervalos para (a) a aproximação pelo ponto médio M_n , (b) a aproximação trapezoidal Tn e (c) a aproximação S_n pela regra de Simpson para garantir que o erro absoluto seja menor do que 10^(-4) .

Exercicio 41.

Passo 1

Para encontrar o numero n , usamos a expressão:

E M = ∫ a b f x d x - M n ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Para obter uma precisão de quatro casas decimais, devemos escolher o número de subintervalos de tal modo que:

E M ≤ 10 - 4

Isso pode ser alcançado tomando n pelo ponto médio de tal modo que valha:

b - a 3 K 2 24 n 2 ≤ 10 - 4

Sendo f ' ' x = 3 4 x + 1 x + 1 2 , então K 2 = 3 2 32

Fazendo a = 1 , b = 3 e K 2 = 3 2 32 nessa desigualdade, obtemos:

2 3 3 2 32 24 × n 2 ≤ 10 - 4

n ≈ 22

Passo 2

Para o item (b),

E T = ∫ a b f x d x - T n ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Para obter uma precisão de quatro casas decimais, devemos escolher o número de subintervalos de tal modo que:

E T ≤ 10 - 4

Isso pode ser alcançado tomando n pelo ponto médio de tal modo que valha:

b - a 3 K 2 12 n 2 ≤ 10 - 4

Substituindo os dados, obtemos:

2 3 3 2 32 1 2 × n 2 ≤ 10 - 4

n ≈ 30

Passo 3

Para o item (c),

E S = ∫ a b f x d x - S n ≤ b - a 5 K 4 1 80 n 4

Para obter uma precisão de quatro casas decimais, devemos escolher o número de subintervalos de tal modo que:

E S ≤ 10 - 4

Isso pode ser alcançado tomando n pelo ponto médio de tal modo que valha:

b - a 5 K 4 180 n 4 ≤ 10 - 4

Fazendo a = 1 , b = 3 e K 4 = 105 2 512 nessa desigualdade, obtemos:

3 - 1 5 105 2 512 180 × n 4 ≤ 10 - 4

n ≈ 5

Prontinho!!

Resposta

(a) n = 22

(b) n = 30

(c) n = 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados