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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 46

Use as desigualdades (12), (13) e (14) da Seção 7.7 para encontrar um número n de subintervalos para (a) a aproximação pelo ponto médio M n , (b) a aproximação trapezoidal T n e (c) a aproximação S n pela regra de Simpson para garantir que o erro absoluto seja menor do que 10 - 4 .

Exercicio 42.

Passo 1

Para encontrar o numero n , usamos a expressão:

E M = ∫ a b f x d x - M n ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Para obter uma precisão de quatro casas decimais, devemos escolher o número de subintervalos de tal modo que:

E M ≤ 10 - 4

Isso pode ser alcançado tomando n pelo ponto médio de tal modo que valha:

b - a 3 K 2 24 n 2 ≤ 10 - 4

Fazendo a = - 1 , b = 1 e K 2 = 1 2 nessa desigualdade, obtemos:

2 3 1 2 24 × n 2 ≤ 10 - 4

n ≈ 41

Passo 2

Para o item (b),

E T = ∫ a b f x d x - T n ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Para obter uma precisão de quatro casas decimais, devemos escolher o número de subintervalos de tal modo que:

E T ≤ 10 - 4

Isso pode ser alcançado tomando n pelo ponto médio de tal modo que valha:

b - a 3 K 2 12 n 2 ≤ 10 - 4

Substituindo os dados, obtemos:

2 3 1 2 12 × n 2 ≤ 10 - 4

n ≈ 58

Passo 3

Para o item (c),

E S = ∫ a b f x d x - S n ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Para obter uma precisão de quatro casas decimais, devemos escolher o número de subintervalos de tal modo que:

E S ≤ 10 - 4

Isso pode ser alcançado tomando n pelo ponto médio de tal modo que valha:

b - a 5 K 4 180 n 4 ≤ 10 - 4

Fazendo a = - 1 , b = 1 e K 4 = - 3 nessa desigualdade, obtemos:

2 5 - 3 180 × n 4 ≤ 10 - 4

n ≈ 73

Prontinho!!

Resposta

(a) n = 41

(b) n = 58

(c) n = 73

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