Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 5a
Calcule, caso existe, em que é dada por
Passo 1
Para um limite existir – ou seja, ter como resposta um número – os limites laterais precisam existir (ou seja, loga acima e logo abaixo do valor de x), e também valer exatamente o mesmo valor do limite desse . Se esses limites laterais não existirem ou forem diferentes, o limite para tendendo a esse ponto não vai existir!
Só pra ficar mais claro, se o limite de x (ou qualquer outro valor muito muito pequeno) é igual a 1, o limite de x tem que ser aproximadamente 1.
Nessa questão, como sabemos que , pela especificação que foi dada no enunciado, precisamos calcular os limites laterais.
Passo 2
Temos que ver então se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:
Se então
Vamos lá, vamos analisar o limite:
Temos aqui na expressão do limite que como ele quer tendendo a 0 pela direita, vamos pegar a condição e substituir no limite:
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos percerber que temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores , assim:
Agora vamos multiplicar tudo por , deixando a função igual a do limite:
Passo 4
Agora nós temos uma das condição do Teorema do Confronto:
Vamos agora testar a próxima condição, se:
Passo 5
Vemos que:
e que:
Assim,
Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:
Passo 6
Agora com tendendo a pela esquerda vamos pegar a condição e substituir no limite:
Passo 7
Para calculcar esse limite, é só fazer do mesmo jeito que acabamos de calcular o limite , apenas trocando o limite lateral, assim:
Temos então que: