Encontre o limite.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   x ln ⁡ t g   x

Passo 1

Se substituirmos o valor na função, observa que encontramos ∞ ∞ ,   certo? Então bora aplicar L’Hospital. Até agora, temos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   x ln ⁡ t g   x

Derivando ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ 1 s e n x . cos ⁡ x 1 t g x . sec 2 ⁡ x

Podemos simplificar para:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x s e n   x * t g   x sec 2 ⁡ x

Nisso temos:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x s e n   x * t g   x * cos 2 ⁡ x

Lembre que t g   x = s e n cos ⁡ x , logo

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x s e n   x * s e n   x cos ⁡ x   * cos 2 ⁡ x

Passo 2

Maravilha! Disso que a gente encontrou o limite ja sai. Ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ cos 2 ⁡ x = 1

Resposta

1

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