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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 18

Encontre o limite.

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (s e n x))/(ln (t g x))

Passo 1

Se substituirmos o valor na função, observa que encontramos (oo)/(oo) , certo? Então bora aplicar L’Hospital. Até agora, temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (s e n x))/(ln (t g x))

Derivando ficamos com:

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(s e n x) . cos x)/((1)/(t g x) . sec^2 x)

Podemos simplificar para:

underset(x -> 0^+)(lim) (cos x)/(s e n x) * (t g x)/(sec^2 x)

Nisso temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (cos x)/(s e n x) * t g x * cos^2 x

Lembre que t g x = (s e n)/(cos x) , logo

underset(x -> 0^+)(lim) (cos x)/(s e n x) * (s e n x)/(cos x) * cos^2 x

Passo 2

Maravilha! Disso que a gente encontrou o limite ja sai. Ficamos com:

underset(x -> 0^+)(lim) cos^2 x = 1

Resposta

1

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