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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 1b

Calcule o centro de massa da região dada:

A = [ ( x , y ) in R ² // x ² + 4 y ² <= 1 , x >= 0 e y >= 0 ]

Passo 1

Primeiramente, vamos vizualizar o gráfico da curva para facilitar!

A curva é x ² + 4 y ² <= 1

Isso é a equação da elipse, então temos,

A fórmula para centro de massa é dada por:

X c = int_a^b y x d x / int_a^b y d x

Y c = int_a^b y x d x / int_a^b x d x

Logo, isolando a função em termos de x e y :

X = (sqrt(1 - y^2))/(2) e Y = (sqrt(1 - x^2))/(2)

Logo:

int_a^b y x d x = int_0^1 x (sqrt(1 - x^2))/(2) d x

Montada a integral, vamos resolver!

Passo 2

Vamos começar por x_C

x_c = (int_0^1 x (sqrt(1 - x^2))/(2) d x)/(int_0^1 (sqrt(1 - x^2))/(2) d x)

Vamos fazer uma substituição simples! Para resolver,

int_0^1 x (sqrt(1 - x^2))/(2) d x

Substituindo,

u = 1 - x ²

d u = - 2 x d x

Ficamos com a seguinte integral,

int sqrt(u) d u = (2)/(3) u^(3 // 2)

Voltando para variável x

int_0^1 x (sqrt(1 - x^2))/(2) d x = (1)/(3)

Já para o denominador fica:

int_0^1 (sqrt(1 - x^2))/(2) d x = (pi)/(4)

Logo,

x_c = (4)/(3 pi)

Passo 3

Para y_c

y_c = ((1)/(2) int_a^b ( f (x) - g (x) ) ( f (x) + g (x) ) d x)/(int_a^b [ f (x) - g ( x ) ] d x)

y_c = ((1)/(2) int_(- 1)^1 ((sqrt(1 - x^2))/(2))^2 d x)/(int_(- 1)^1 (sqrt(1 - x^2))/(2) d x)

Resolvendo essas integrais (a resolução é análoga ao passo 2), temos que y_c = (2)/(3 pi)

Resposta

x_c = (4)/(3 pi)

y_c = (2)/(3 pi)

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